第二单元 方程（组）与不等式（组）第 7 课时 一元二次方程及其应用教学目标【考试目标】1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程.2.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系.【教学重点】1.了解一元二次方程的定义.2.学会一元二次方程的解法.3.熟悉一元二次方程根的判别式与根的关系.4.熟悉一元二次方程根与系数的关系.5.了解一元二次方程的实际应用.教学过程一、知识体系图引入，引发思考二、引入真题，深化理解【例 1】（2025 年山西）解方程：2(x-3)2=x2-9.【解析】原方程可变形为 2(x-3)2-(x2-9)=0，即 2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0. 提公因式可得，(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,即(x-3)(x-9)=0. 所以 x1=3，x2=9.【考点】本题考查了一元二次方程的解法，主要考查了因式分解法的运用.此题的关键是发现公因式，找到公因式后，解决此题会方便很多.【例 2】（2025 年十堰）已知关于 x 的方程(x-3)(x-2)-p2=0.（1）求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.（2）设方程的两根分别为 x1、x2，且满足 x12+x22=3x1x2，求实数 p 的值.【解析】原方程写成一般式为：x2-5x+6-p2=0. （1）证明：∆=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=4p2+1. p2≥0，∴∆≥1＞0.∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实根. （2）对 x12+x22=3x1x2进行变形，左右两边同时加 2x1x2得 x12+2x1x2+x22=5x1x2，即(x1+x2)2=5x1x2. 由题可知. 代入得，25=30-5p2.解得 p2=1，∴p= ±1.【考点】此题考查了根的判别式与根之间的关系，以及根与系数的关系、一元二次方程的解法.根与系数的关系、根的判别式与根之间的关系均需要把方程变为一般式.【例 3】（2025 年包头）一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为 3：2，设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩带所占面积为 ycm2.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占的面积是图案面积的，求横竖彩条的宽度.【解析】（1） 横竖彩条的宽度比为 3:2，∴横彩条的宽度为 1.5xcm. 一条竖彩条的面积为 12xcm2，一条横彩条的面积为 30xcm2. 重合部分的面积为 2x（1.5x）=3x2 ∴y=12x×2+30x-3x2.整理得 y= -3x2+54x. （2）图案面积为 20×12=240（cm2） 由题意知 y=96. 即-3x2+54x=96. 整...
