题型专项(七) 三角形的简单证明与计算类型 1 与全等三角形有关的证明与计算1．(2025·南充)如图，AD，BC 相交于 O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.证明： ∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.在△ABO 和△CDO 中，∴△ABO≌△CDO(SAS)．∴AB＝CD.2．(2025·昆明)如图，点 D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.证明： FC∥AB，∴∠EAD＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE.在△ADE 和△CFE 中，∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AE＝CE.3．(2025·乐山)如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，F 是边 BC 的中点，连接 CE，DF.求证：CE＝DF.证明： ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.又 E，F 分别是 AB，BC 的中点，∴BE＝CF.∴△CEB≌△DFC.∴CE＝DF.4．(2025·河北)如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上(F，C 之间不能直接测量)，点 A，D 在 l 异侧，测得 AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明： BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即 BC＝EF.又 AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由： △ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.5．在△ABC 中，AB＝AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE＝AF，BF 与 CE 相交于点 P.(1)求证：△ABF≌△ACE；(2)求证：PB＝PC.证明：(1)在△ABF 和△ACE 中，∴△ABF≌△ACE(SAS)．(2) AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. △ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠ACE.∴∠PBC＝∠PCB.∴PB＝PC.6．(2025·内江)如图，点 M，N 分别是正五边形 ABCDE 的边 BC，CD 上的点，且 BM＝CN，AM 交 BN 于点 P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN 的度数．解：(1)证明： 五边形 ABCDE 是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C. 在△ABM 和△BCN 中，∴△ABM≌△BCN(SAS)．(2) △ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN. ∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝＝108°.类型 2 与相似三角形有关的证明与计算7．(2025·德阳中江课改监控检测)如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段 CD 的长．解： ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴＝. AB＝6，AD＝4，∴AC＝＝＝9.则 CD＝AC－AD＝9－4＝5.8．如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且＝.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB 的大小．解：(1)证明：...
