函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：假如对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=－f(x)，则称 f(x)为奇函数；假如对于函数f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。假如函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.假如函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。2．利用定义推断函数奇偶性的格式步骤：（1）首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关于原点对称；（2） 确定 f(－x)与 f(x)的关系；（3） 作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。3．简单性质：（1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；（2）设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2 那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一个定义域关于原点对称的函数 均可写成一个奇函数 与一个 偶函数 和的形式，则 。4． 奇偶函数图象的对称性(1)若是偶函数，则的图象关于直线对称；(2)若是奇函数，则的图象关于点中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：（1） 函数 是偶函数，函数 是奇函数；（2）函数 且是奇函数；（3）函数 且是奇函数；（4）函数 且是奇函数。二、函数的单调性1．定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1
