正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：的三个内角、、所对应的三边分别为、、.1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；(2) 勾股定理：中，.2．角的关系： 中，,=（1）互补关系：（2）互余关系：3．直角三角形中的边与角之间的关系应用解三角形正弦定理余弦定理中，（如图），有：，.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： （为的外接圆半径）2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ② 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：① 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；② 已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：① 勾股定理是余弦定理的特殊情况，.② 在中，，所以为锐角；若，，同理可得角、为锐角.当，，都成立时，为锐角三角形．③ 在中，若，所以为钝角，则是钝角三角形．同理：若，则是钝角三角形且为钝角； 若，则是钝角三角形且为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知和角时，解的情况如下： (1)若 A 为锐角时：如图：(2)若 A 为直角或钝角时：3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式...
