第二十讲 定积分的定义与性质（理科）一、知识梳理1.定积分的概念：设函数在区间上有定义，将区间等分成分小区间，每个小区间长度为( ),在每个小区间上取一点，依次为，作和 .如果无限趋近于 0(亦即趋向于)时，无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为 ，其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限，2.微积分基本定理：对于被积函数，如果，则= .3.定积分的运算性质：⑴= ；⑵ ；⑶ .4.定积分的几何意义：在区间上曲线与轴所围成图形面积的 (即轴上方的面积减去轴下方的面积)；⑴ 当在区间上大于 0 时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义.⑵ 当在区间上小于 0 时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的 .⑶ 当在区间上有正有负时，表示介于直线之间轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 .5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即 .⑵ 变力做功公式，一物体在变力(单位：)的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动到(单位：)，则力所作的功为 .二、同步练习1. 求 定 积 分 ： （ 1 ）； （ 2 ）； （ 3 ）2. 若 y=f(x)与 y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x=a,x=b 所围成的平面区域的面积为 （用定积分表示）. 3.根据sinxdx=0 推断，直线 x=0，x=2，y=0 和正弦曲线 y=sinx 所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在 x 轴上方的面积 在 x 轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空）4. 若f(x)dx=1, f(x)dx=-1,则f(x)dx= . 5. 若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，现在要使弹簧伸长 10 cm，则需要花费的功为( )A．0.05 J B．0.5 J C．0.25 J D．1 J6.如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( )A．1 B. C. D．27.已知函数 y＝x2 与 y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则 k＝________.8.已知 f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx 等于 ( )A．0 B．4 C．8 D．169. ；10. 已知质点的速度，则从到质点所经过的路程是 .11. 已知 f(x)=，求f(x)dx 的值.12. 已知 f（x）=ax2+bx+c，且 f（-1）=2，f′（0）=0，f（x）dx=-2，求 a、b、c 的值.13. dx= ; 14. ； 15. 曲线 y=cosx（ 0≤x≤）与坐标轴所围成的面积是 .16．如图，设点 P 从原点沿曲线 y＝x2 向点 A(2,4)移动，记直线 OP、曲线 y＝x2及直线 x＝2 所围成的面积分别记为 S1，S2，若 S1＝S2，则点 P 的坐标为________．
