1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式在实数范围内成立，其中 a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）．答（ ）２．如图，AB‖EF‖CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18．答（ ）３．方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）．答（ ）４．已知：（n 是自然数）．那么，的值是（Ａ）； （Ｂ）；（Ｃ）； （Ｄ）．答（ ）５．若，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６．若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足，，，那么的最大值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．答（ ）７．如图，正方形 OPQR 内接于 ΔABC．已知 ΔAOR、ΔBOP 和 ΔCRQ 的面积分别是，和，那么，正方形 OPQR 的边长是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８．在锐角 ΔABC 中，，，，ΔABC 的外接圆半径≤1，则（Ａ）< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤；答（ ）（C）c > 2； （D）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，假如 ΔBEG 的面积是１，则平行四边形 ABCD 的面积是 ．２．已知关于 x 的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， ．3．设 m，n，p，q 为非负数，且对一切 x >０，恒成立，则 ．４．四边形 ABCD 中，∠ ABC，∠BCD，AB，BC，CD = 6，则 AD = ．第二试=1x + y， x － y， x y， 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE 的外接圆与 ΔABC 的外接圆交于 F 点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形 ABCD 分割为 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点 A，C 染成红色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．...
