同济第六版高数答案

第一章习题 111  设 A( 5)(5 ) B[10 3)      写出 AB AB A\B及 A\(A\B)的表达式解 AB( 3)(5 )   AB[10 5)   A\B( 10)(5 )    A\(A\B)[10 5)  2  设 A、B 是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC 证明 因为x(AB)CxAB xA   或 xB xAC 或 xBC xAC BC 所以 (AB)CAC BC 3  设映射 f X Y AX BX   证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)证明 因为yf(AB)xAB     使 f(x)y( 因为 xA或 xB) yf(A)或 yf(B) yf(A)f(B)所以 f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB    使 f(x)y(  因 为 xA且 xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B) 所以 f(AB)f(A)f(B)4  设映射 f XY   若存在一个映射 g YX   使 gfIX fgIY  其中IX、IY 分别是 X、Y 上的恒等映射 即对于每一个 xX   有 IX xx   对于每一个 yY   有 IY yy   证明 f 是双射 且 g 是 f 的逆映射 gf 1  证明 因为对于任意的 yY   有 xg(y)X   且 f(x)f[g(y)]Iy yy   即 Y中任意元素都是 X 中某元素的像 所以 f 为 X 到 Y 的满射又 因 为 对 于 任 意 的x1x2 必 有f(x1)f(x2) 否 则 若f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)] x1x2因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射对 于 映 射 g YX  因 为 对 每 个 yY  有 g(y)xX   且 满 足f(x)f[g(y)]Iy yy   按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射5  设映射 f XY AX   证明(1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A))   所以 f 1(f(A))A(2)由(1)知 f 1(f(A))A另一方面 对于任意的 xf 1(f(A)) 存在 yf(A)  使 f 1(y)xf(x)y  因为yf(A)且 f 是单射 所以 xA ...