一、推断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ）2.可数集的交集必为可数集。（× ）3.设，则。（× ）4.设点 P 为点集 E 的内点，则 P 为 E 的聚点，反之 P 为 E 的聚点，则 P 为 E 的内点。（× ）5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ）6.任意多个开集的并集仍为开集。（√ ）7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ）8.设，则。（× ）9.设 E 为中的可数集，则。（√ ）10.设 E 为无限集，且，则 E 是可数集。（× ）二、填空题1.设，是上的全部有理点，则 [0,1] ；的内部 空集 ； [0,1] 。2. 设，， 则 [0,1] ；的 内 部 空 集 ；。3.设，，则；的内部；。4.设 P 是 Cantor 集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； ___0___。5. 设为上的开集的构成区间，则满足，且，。三、证明题1.证明：。证明：因为，，所以，，，从而反之，对任意，即对任意，有为无限集，从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。2.设，，n=1,2，…，求出集列的上限集和下限集。解：；设， 则 存 在 N ， 使时 ， 因 此时 ，， 即，所以属于下标比 N 大的一切偶数指标集，从而属于无限多，得，又显然，所以。若 有， 则 存 在 N ， 使 对 任 意， 有， 因 此 若时 ，， 即， 令， 得，此不可能，所以。3.可数点集的外侧度为零。证明: 设对则则 4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明：记是不可数集，是可数集，因为，且为无限集（因为，否则的话，是至多可数集，与是不可数集矛盾），为至多可数集（因为，是可数集，所以为至多可数集），所以，，即，所以，仍为不可数集
