第 10 课时 三角函数的周期性【学习导航】 知识网络学习要求 1,理解三角函数的周期性概念，2,理解三角函数的周期性和函数的奇偶性之间的关系，3,会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力【课堂互动】自学评价1．对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期2．最小正周期 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期． 例如，是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以是正弦函数的最小正周期，同样地，也是余弦函数的最小正周期．研究三角函数周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．3．及型的三角函数的周期公式例 1 若摆钟的高度 h（mm）与时间 t(s)之间的函数关系如图所示。（1）求该函数的周期；（2）求 t=10s 时摆钟的高度。【解】(1)由图象可知该函数的周期为 1.5s.(2)设 h=f(t) 由函数 f(t)的周期为 1.5s，可知 f(10)= f(1+61.5)= f(1)=20 ， 故t=10s 时摆钟的高度为 20mm.【归纳总结】根据图象的周期变化可得周期;如在一周期中的任一 x 对应的 f(x)的值可求，则对定义域内的任意 x+T 对应的 f(x)可求。例 2.求下列函数的周期：（1）y=cos2x （2）y =sinx （3）y =2sin（x - ）【分析】该例的三个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归纳为基本三角函数去处理。【解】（1）如果令 2x= 则 cos2x=cos 是周期为 2的函数cos(2x+2)=cos2x即 cos2（x+)= cos2xcos2x 的周期为（2）如果令 x=则 sin=sinx 是周期为2的函数sinx(+2)= sin即 sin[(x+4)]= sin sin的周期为 4用心 爱心 专心三 角 函 数的周期性比 较 函 数的奇偶性最小正周期听课随笔 (3)2sin(-+2)=2sin（x - ）即2sin[(x+6)-]=2sin（x - ） 2sin（x - ）的周期为 6【归纳总结】由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量 x 的 系数有关，一般地 ，y =Asin（x+ ）或y =Acos（x+ ）的周期为 T=（>0）例 3 ． 已 知 函 数( ),yf x xR， 满 足(2)( )f xf x对于一切 xR都成立，求证：4 是( )f x 的一个周期．【证明】4 是( )f x 的一个周期。追踪训练1．求下列函数的周期：2.若函数的最小正周期为，求正数ｋ的值．3．若弹簧振子对平衡位置的位移 （ｃｍ）与时间ｔ（ｓ）之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求ｔ＝10.5 ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移用心 爱心 专心听课随笔参考答案1， 32 ; 6 2，K=3 3，（１）周期为 4 （２）-8cm【师生互动】用心 爱心 专心学生质疑教师释疑
