2.5.1 二次函数与一元二次方程【学习导航】 知识网络 学习要求 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．【课堂互动】自学评价1.二次函数的零点的概念一元二次方程的根也称为二次函数（≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程的关系（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，判 别 式对 应 的 二 次 函 数（≠0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为(，)对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；（ 3 ） 一 元 二 次 方 程（≠0）没有实数根判别式对应的二次函数（≠0）的图象与轴 没 有 交 点对 应 的 二 次 函 数（≠0）没有零点．3. 推广⑴ 函数的零点的概念一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数 的零点．⑵ 函数的零点与对应方程的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．【精典范例】例 1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根．【解】二次函数与一元二次方程函数的零点二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系函数的零点与对应方程的关系二次函数的零点听课随笔例 2：下图是一个二次函数的图象．（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较，与的大小关系．【解】例 3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （1）方程的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程的两根都小于；（3）方程的两根都在区间上；（4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；（5）方程至少有一个实根小于．【解】追踪训练一1. 函数的最大值是，则 （ ）A． B． C． D．2. 设，, ，则 （ ） 听课随笔A． B． C． D． 3. 若关于的方程有一根在内，则_____．4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_________________． 【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系 例 4:已知，是方程()的两个实根，求的最大值和最小值．．【解】二、已知二次函数的某些特征,求二次函数的解析式 例 5：已知二次函数 (,是常数且) 满足条件，且方程有等根．⑴ 求的解析式；⑵ 是否存在实数,()，使的定...
