第29课时 函数与方程

第 29 课时 函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课 问题：二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？ 我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0 时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x 轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设 x1＜x2）对应的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2； （2）当△＝b2－4ac＝0 时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x 轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根 x0； （3）当△＝b2－4ac＜0 时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与 x 轴没有公共点，对应的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根． ［例 1］已知集合 A＝{x|x2－5x＋4≤0}与 B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若 A∪B＝A，求 a 的取值范围． 解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识． A＝［1，4］，A∪B＝A，∴BA． 若 B＝，即 x2－2ax＋a＋2＞0 恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0， ∴－1＜a＜2； 若 B≠，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0， ∴a≥2 或 a≤－1． 方程 x2－2ax＋a＋2＝0 的两根为 x1，2＝a±． 则 B＝{x|a－≤x≤a＋}，由题意知 用心 爱心 专心 解之得 2≤a≤，综合可知 a（－1，］． 解法二：f（x）＝x2－2ax＋a＋2， 如图知 解之得 2≤a≤，综上可知 a（－1，］． ［例 2］已知 x 的不等式＞ax 的解区间是（0，2），求 a 的值． 解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题． 解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数 y1＝和 y2＝ax 的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线 y＝ax 必过点（2，2），则 a＝1．解法二： 0＜x＜2，当 a≥0 时，则 4x－x2＞a2x2． ∴0＜x＜，则＝2，∴a＝1． 当 a＜0 时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a＜0 舍去．综上知 a＝1． ［例 3］已知函数 f（x）＝x2＋2bx 十 c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程 f（x）＋1＝0 有实根， （1）证明：－3＜c≤－1 且...