第七课时 函数的单调性（2）【学习导航】 学习要求 1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性； 3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【精典范例】一．较复杂函数的单调性证明：例1：判 断 函 数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．【证明】函数是增函数．证明如下： 设，则 ，∵，∴，，∴，即，∴函数是增函数．说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。二．证明函数的单调性：例 2：求证：函数在上是单调减函数．【证明】设 ，则，∵，∴；∵，∴，同理，∴，∴，即，∴在上是单调减函数．听课随笔例３：(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；（２）由题意可以知道即；（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；追踪训练一1. 函数是定义域上单调递减函数，且过点和，则的自变量的取值范围是（ B） 2. 已知函数 f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那 么 f(a2 － a ＋ 1) 与的 大 小 关 系 是 小于等于 ．3. 函数 y=|x+1|的单调递减区间为[ － 1 ， +∞ ) 单调递减区间( －∞，－ 1 ] 【选修延伸】已知函数单调性，求参数范围： 例 4: 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．【解】∵时，，∴函数是减函数， ∴ 由得 ：，解得， ∴的取值范围是．点评: 注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？听课随笔追踪训练1．已知函数和在上都是减函数，则 在上（ A）是增函数是减函数 既不是增函数也不是减函数的单调性不能确定2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．3. 若在上是增函数，且，则 ＞ ． （注：从、、中选择一个填在横线上）4. 函数在上递减，在上递增，则实数的取值范围 .5 ． 用 函 数 单 调 性 的 定 义 证 明 ： 函 数在上是增函数．证明：设∴即故函数在上是增函数．【师生互动】学生质疑教师释疑
