板块命题点专练（四）命题点一 导数的运算及几何意义命题指数：☆☆☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2025·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝________.解析： f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又 f(1)＝a＋2，∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1.答案：12．(2025·全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x<0 时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线 y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为 f(x)为偶函数，所以当 x>0 时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以当 x>0时，f′(x)＝－3，则 f′(1)＝－2.所以 y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为 y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.答案：y＝－2x－13．(2025·全国卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________.解析：法一： y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.∴曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1. y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，∴a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)．由消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0.由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8.法二：同法一得切线方程为 y＝2x－1.设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)． y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由解得答案：8命题点二 导数的应用命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：选择题、填空题、解答题1.(2025·全国卷Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．2，＋∞) D．1，＋∞) 解析：选 D 因为 f(x)＝kx－ln x，所以 f′(x)＝k－.因为 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当 x>1 时，f′(x)＝k－≥0 恒成立，即 k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为 x>1，所以 0<<1，所以 k≥1.故选 D. 2.(2025·全国乙卷)若函数 f(x)＝x－sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A．－1,1] B.C. D.解析：选 C f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2x＋acos x＋，f(x)在 R 上单调递增，则 f′(x)≥0 在 R 上恒成立，令 cos x＝t，t∈－1,1]，则－t2＋at＋≥0 在－1,1]上恒成立，即...
