工程数学线性代数课后答案--同济第五版

第五章 相似矩阵及二次型 1  试用施密特法把下列向量组正交化  (1)  解 根据施密特正交化方法    (2) 解 根据施密特正交化方法    2  下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵  (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量  且两两正交  故为正交阵  3 设 x 为 n 维列向量 xTx1 令 HE2 xxT 证明 H 是对称的正交阵 证明 因为 HT( E2 xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2 xxT 所以 H 是对称矩阵 因为 HTHHH( E2 xxT)(E2 xxT) E2 xxT2 xxT(2xxT)(2xxT) E4 xxT4x(xTx)xT E4 xxT4xxT E 所以 H 是正交矩阵 4  设 A 与 B 都是 n 阶正交阵  证明 AB 也是正交阵  证明 因为 A B 是 n 阶正交阵  故 A1 AT B1 BT (AB)T(AB)BTATABB1 A1 ABE故 AB 也是正交阵  5  求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解  故 A 的特征值为1(三重)  对于特征值1  由得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 1 1)T  向量 p1就是对应于特征值1的特征值向量. (2); 解  故 A 的特征值为10  21  39   对于特征值10  由得方程 Ax0 的基础解系 p1(1   1  1)T 向量 p1是对应于特征值10 的特征值向量. 对于特征值21 , 由得方程(AE)x0 的基础解系 p2(1   1 0)T 向量 p2 就是对应于特征值21 的特征值向量 对于特征值39  由得方程(A9 E)x0 的基础解系 p3(1/2 1/2 1)T 向量 p3就是对应于特征值39的特征值向量  (3). 解  故 A 的特征值为121  341  对于特征值121  由得方程(AE)x0 的基础解系 p1( 1 0 0 1)T p2( 0 1 1 0)T 向量 p1和 p2是对应于特征值121 的线性无关特征值向量  对于特征值341  由得方程(AE)x0 的基础解系 p3( 1 0 0 1)T p4( 0 1 1 0)T 向量 p3和 p4是对应于特征值341 的线...