高二数学素材：柯西不等式

二、柯西不等式，当且仅当 bi=ai (1in)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设 aiR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当 bi=ai (1in)时取等号2.设 ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当 b1=b2=…=bn时取等号例 1.已知 a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：证明：左边=例 2.对实数 a1,a2,…,an,求证：证明：左边=例 3.在ABC 中，设其各边长为 a,b,c,外接圆半径为 R，求证：证明：左边例 4.设 a,b,c 为正数，且 a+b+c=1,求证：证明：左边= 用心 爱心 专心 = =例 5.若 n 是不小于 2 的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例 6.设 x1,x2,…,xn都是正数(n2)且，求证：证明：不等式左端即 (1)∵，取，则 (2)由柯西不等式有 (3)用心 爱心 专心及综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：用心 爱心 专心三、排序不等式设 a1a2…an,b1b2…bn;r1,r2,…,rn是 1,2,…,n 的任一排列，则有：a1bn+ a2bn1+…+ anb1a1br1+ a2br2+…+ anbrn a1b1+ a2b2+…+ anbn反序和乱序和同序和例 1.对 a,b,cR+,比较 a3+b3+c3与 a2b+b2c+c2a 的大小解：取两组数 a,b,c；a2,b2,c2，则有 a3+b3+c3a2b+b2c+c2a例 2.正实数 a1,a2,…,an的任一排列为 a1/,a2/,…an/，则有证明：取两组数 a1,a2,…,an；其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有例 3.已知 a,b,cR+求证：证明：不妨设 abc>0,则>0 且 a12b12c12>0则例 4.设 a1,a2,…,an是 1,2,…,n 的一个排列，求证：证明：设 b1,b2,…,bn1是 a1,a2,…,an1的一个排列，且 b10由排序不等式有： 用心 爱心 专心两式相加得又因为：a3b3c3>0,故两式相加得例 6.切比雪不等式：若 a1a2…an且 b1b2…bn,则a1a2…an且 b1b2…bn,则证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn a1b3+a2b4+…+anb2…………………………………………a1b1+a2b2+…+anbn a1bn+a2b1+…+anbn1将以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+anbn) a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)∴用心 爱心 专心