放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。1、 先放缩再求和例 1 （05 年湖北理）已知不等式其中 为不大于 2 的整数，表 示 不 超 过的 最 大 整 数 。 设 数 列的 各 项 为 正 且 满 足，证明：，分析：由条件得： …… 以上各式两边分别相加得： = 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例 2 （04 全国三）已知数列的前n 项和满足：， （1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；用心 爱心 专心1⑵ 由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.故 ∴∴数列{}的通项公式为：.⑶ 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前 n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。2、 先求和再放缩例 3（武汉市模拟）定义数列如下：证明：（1）对于恒有成立。用心 爱心 专心2 （2）当，有成立。 （3）。分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得： … … 以上各式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用心 爱心 专心3
