数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比数列的前 n 项和公式：Sn＝2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例 1】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.[解析] (1)设{an}的公差为 d，由 a1＝1，a2＋a4＝10 得 1＋d＋1＋3d＝10，所以 d＝2，所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)由(1)知 a5＝9.设{bn}的公比为 q，由 b1＝1，b2·b4＝a5得 qq3＝9，所以 q2＝3，所以{b2n－1}是以 b1＝1 为首项，q′＝q2＝3 为公比的等比数列，所以 b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝.【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若 T3＝21，求 S3.[解析] (1)设{an}公差为 d，{bn}公比为 q，由题意得解得或(舍去)，故{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.(2)由已知得解得或∴当 q＝4，d＝－1 时，S3＝－6；当 q＝－5，d＝8 时，S3＝21.考点二、分组转化求和【例 2】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和.[解析] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.(2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2...
