三、考点纵横——6 大常考考点之神思妙解常考点 1 最值问题的 5 大解法方法 1 函数法(1)利用已知函数性质求最值根据已知函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.典例 1 函数 y=cos 2x+2cos x 的最小值是 . 思路点拨 利用余弦倍角公式转化为关于 cos x 的二次函数在闭区间上的最值.答案 -解析 y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2- ,当且仅当 cos x=- 时,函数取得最小值- .(2)构建函数模型求最值很多最值问题需要先建立函数模型,然后使用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是一个角度(如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是一个变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.典例 2 在△ABC 中,点 D 满足=,当点 E 在线段 AD 上移动时,若=λ+μ,则 t=(λ-1)2+μ2的最小值是( )A.B.C.D.思路点拨 根据点 E 在线段 AD 上移动,利用共线向量定理设出变量 x,建立求解目标关于 x 的函数关系后利用函数性质求解.答案 C解析 设=x(0≤x≤1),因为=+=+=+ (-)=+,所以= x+ x,又=λ+μ,且,不共线,所以 λ= x,μ= x,所以 t=(λ-1)2+μ2=+= (5x2-4x+8),在 x= 时取得最小值 .故选 C.方法 2 不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:① 基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;② 变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.典例 3 已知圆 O 的半径为 1,HM,HN 为该圆的两条切线,M,N 为两切点,那么·的最小值为 . 思路点拨 以∠OHM 为变量建立求解目标的函数关系后,通过变换使用基本不等式.答案 2-3解析 连接 OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ< ,则||=||=,所以·=||·||·cos 2θ======(1-cos 2θ)+-3≥2-3,当且仅当 1-cos 2θ=,即 cos 2θ=1-时等号成立.(2)建立求解目标的不等式求最值把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.典例 4 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 . 思路点拨 根据直线与圆的位置关系建立关于 k 的不等式,解不等式得 k 的取值范围即可得出其最小值.答案 -解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2...
