专题 21 填空题解题方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．方法一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例 1 设 a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中 i，j 为互相垂直的单位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，则实数 m＝________．【答案】－2【解析】a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝m i－(m＋2)j. (a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0，而 i，j 为互相垂直的单位向量，故可得 m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，∴m＝－2.【变式探究】已知函数 f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数 a 的取值范围是__________．【答案】【解析】a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝m i－(m＋2)j. (a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0，而 i，j 为互相垂直的单位向量，故可得 m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，∴m＝－2.方法二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果．例 2、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a，b，c 成等差数列，则＝__________．【答案】【解析】特殊化：令 a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC 为直角三角形，cos A＝，cos C＝0，从而所求值为.【变式探究】过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p，q，则＋＝________．【答案】4a【解析】设 k ＝ 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程 y＝代入抛物线方程得 x＝±，∴|PF|＝|PQ|＝，从而＋＝4a.【分析】此抛物线开口向上，过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P、Q，当 k 变化时PF、FQ 的长均变化，...
