第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题考向一 直线与圆锥曲线位置关系问题【典例】 (2018·合肥三模)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，以抛物线上一动点 M 为圆心的圆经过点 F
若圆 M 的面积最小值为 π．(1)求 p 的值；(2)当点 M 的横坐标为 1 且位于第一象限时，过 M 作抛物线的两条弦 MA，MB，且满足∠AMF＝∠BMF
若直线 AB 恰好与圆 M 相切，求直线 AB 的方程．[思路分析]总体设计看到：求 p 的值，想到：建立关于 p 的方程求解．看到：求直线的方程，想到：求出直线斜率后设出直线的斜截式方程，待定系数法求解．解题指导(1)由抛物线的性质知，当圆心 M 位于抛物线的顶点时，圆 M 的面积最小，由＝π 可得 p 的值；(2)依横坐标相等可得，MF⊥x 轴，kMA＋kMB＝0，设 kMA＝k(k≠0)，则直线 MA 的方程为 y＝k(x－1)＋2，代入抛物线的方程得，利用韦达定理求出 A 的坐标，同理求出 B 的坐标，求出 AB 的斜率为定值－1，设直线 AB 的方程为 y＝－x＋m，由圆心到直线的距离等于半径，列方程解得 m＝3±2，从而可得直线 AB 的方程
[规范解答] (1)由抛物线的性质知，当圆心 M 位于抛物线的顶点时，圆 M 的面积最小， 1 分此时圆的半径为|OF|＝，∴＝π，解得 p＝2．3 分(2)依题意得，点 M 的坐标为(1,2)，圆 M 的半径为 2
由 F(1，0)知，MF⊥x 轴
4 分由∠AMF＝∠BMF 知，弦 MA，MB 所在直线的倾斜角互补，∴kMA＋kMB＝0
5 分设 kMA＝k(k≠0)，则直线 MA 的方程为 y＝k(x－1)＋2，∴x＝(y－2)＋1，6 分代入抛物线的方程得 y2＝4，∴y2－y＋－4＝0，7 分∴yA＋2＝，yA＝－2
8 分将 k 换成－k，得 y
