热点探究课(三) 数列中的高考热点问题(对应学生用书第 76 页)[命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点 1 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量 a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”． (2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的 n∈N*，bn是 log2an和 log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前 2n 项和．[解] (1)设数列{an}的公比为 q.由已知，有－＝，解得 q＝2 或 q＝－1.2 分又由 S6＝a1·＝63，知 q≠－1，所以 a1·＝63，得 a1＝1.所以 an＝2n－1.5 分(2)由题意，得 bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为 1 的等差数列.8 分设数列{(－1)nb}的前 n 项和为 Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.10 分[规律方法] 1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且 b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且 b≠1)是等差数列．2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．[对点训练 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，常数 λ>0，且 λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n 都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 a1>0，λ＝100.当 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？ 【导学号：00090176】[解] (1)取 n＝1，得 λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若 a1＝0，则 Sn＝0.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以 an＝0(n≥1).2 分若 a1≠0，则 a1＝. 当 n≥2 时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得 2an－2an－1＝an，所以 an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以 an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当 a1＝0 时，an＝0；当 a1≠0 时，an＝.5 分(2)当 a1>0，且 λ＝100 时，令 bn＝lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2.7 分所以数列{bn}是单...
