高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用（一）学案 理-人教版高三全册数学学案

2．11 导数在研究函数中的应用(一) [知识梳理]1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，即 f′(x0) ＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在 x＝0 处有 y′＝0，但 x＝0 不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．4．极值与最值(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．( )(2)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)>0，那么 f(x)在(a，b)上单调递增；反之，若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( )(3)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(选修 B2－2P35T1)已知函数 f(x)＝x2－ln |x|，则函数 y＝f(x)的大致图象是( )答案 A解析 f(－x)＝(－x)2－ln |－x|＝x2－ln |x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 D；当 x>0 时，f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，∴当 0时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，排除 C；当 x＝时，f(x)取得最小值 f＝－ln >0，排除 B.故选 A.(2)(选修 A2－2P32B 组 T1)已知 a>0，函数 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则 a 的最大值是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析 由题意得 f′(x)＝3x2－a， 函数 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴在[1，＋∞)上，f′(x)≥0 恒成立，即 a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤3.故选 D.3．小题热身(1)(2013·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数 ...