等差数列求和方法【考点 1】等差数列的前项和公式（1）等差数列的前项和公式：，或，此式还可变形为．（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前 n 项公式的推导所用方法）．例 1 在等差数列{an}中，（1）已知 S12＝84，S20＝460，求 S28；（2）已知 a6＝10，S5＝5，求 a8和 S8．【点拨】利用等差数列前项和公式的变形形式待定系数法求解．【解析】（1）不妨设 Sn＝An2＋Bn，∴∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092．（2） S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又 S6＝∴15＝即 a1＝－5 而 d＝∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝．【答案】（1）1092；（2）44．【小结】本题考查等差数列前项和公式．例 2 设等差数列的第 10 项为 23，第 25 项为，求：（1）数列的通项公式； （2）数列前 50 项的绝对值之和．【点拨】通过通项公式找到数列中的正．负分界项，利用等差数列前项和公式求解．【解析】（1）由已知可知，，解得．．（2）此数列的前 17 项均为正数，从第 18 项开始均为负数．前 50 项的绝对值之和．【答案】（1）；（2）2059．【小结】本题考查等差数列前项和公式练习 1：已知数列的通项公式，如果，求数列的前项和．【解题过程】【解析】，当时，当时，∴ ．【考点 2】等差数列前 n 项和的最值（1）在等差数列{an}中当 a1>0，d<0 时，Sn有最________值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组__________确定；当 a1<0，d>0 时，Sn有最________值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组__________确定．（2）因为 Sn＝n2＋n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn有最______值；当d<0 时，Sn有最______值；且 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．一个有用的结论：若 Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．例 3 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝12，且 S12>0，S13<0．（1）求公差 d 的范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由．【点拨】找到数列中的正．负分界项是解题关键．【解析】（1）根据题意，有：整理得：解之得：－a2>a3>…>a12>a13>…，而 S13＝＝13a7<0，∴a7<0．又 S12＝＝6（a1＋a12）＝6（a6＋a7）>0，∴a6>0．∴数列{an}的前 6 项和 S6最大．【答案】（1）－
