高考数学二轮复习 考前冲刺三 第六类 函数与导数问题重在“分”——分离、分解学案 理-人教版高三全册数学学案

第六类 函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理.【例 6】 (2017·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ax2－ax－xln x，且 f(x)≥0.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e－21 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以 x＝1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明 由(1)知 f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，设 h(x)＝2x－2－ln x，(分解)则 h′(x)＝2－.当 x∈时，h′(x)<0；当 x∈时，h′(x)>0.所以 h(x)在单调递减，在单调递增.又 h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，所以 h(x)在有唯一零点 x0，在有唯一零点 1，且当 x∈(0，x0)时，h(x)>0；当 x∈(x0，1)时，h(x)<0；当 x∈ (1，＋∞)时，h(x)>0.因为 f′(x)＝h(x)，所以 x＝x0是 f(x)的唯一极大值点.由 f′(x0)＝0 得 ln x0＝2(x0－1)，故 f(x0)＝x0(1－x0).由 x0∈得 f(x0)<.因为 x＝x0是 f(x)在(0，1)的最大值点，由 e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0 得 f(x0)>f(e－1)＝e－2.所以 e－2b 对任意 x∈(0，＋∞)恒成立，求实数 b 的取值范围.解 (1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，由 f′(x)<0 得...