热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题(对应学生用书第 36 页)[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围． (本小题满分 12 分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．[思路点拨] (1)求出导数后对 a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求 a的范围．[规范解答] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－A．2 分若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增加的．3 分若 a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.5 分所以 f(x)在上是增加的，在上是减少的． 6 分(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；7 分当 a>0 时，f(x)在 x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.9 分因此 f>2a－2 等价于 ln a＋a－1<0.10 分令 g(a)＝ln a＋a－1，则 g(a)在(0，＋∞)上是增加的，g(1)＝0.于是，当 0
1 时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0,1).12 分[答题模板] 讨论含参函数 f(x)的单调性的一般步骤第一步：求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)．第二步：求函数 f(x)的导数 f′(x)．第三步：根据 f′(x)＝0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论．第四步：求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0)．第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断 f′(x)的符号问题上，而 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0，最终可...
