8．5 椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2 a ，且 2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且a，c 为常数．注：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形续表3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉 y，得到 Ax2＋Bx＋C＝0 的形式(这里的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为 2 a .5．必记结论(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴端点处．(2)已知过焦点 F1的弦 AB，则△ABF2的周长为 4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示的曲线是椭圆．( )(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修 A1－1P35例 3)已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为 F1，F2，且 F1F2＝8，弦 AB 过点 F1，则△ABF2的周长为( )A．10 B．20 C．2 D．4答案 D解析 因为 a>5，所以椭圆的焦点在 x 轴上，所以 a2－25＝42，解得 a＝.由椭圆的定义知△ABF2的周长为 4a＝4.故选 D.(2)(选修 A1－1P42A 组 T6)已知点 P 是椭圆＋＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________．答案 或解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以 c＝1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入＋＝1，得 x＝±，又 x>0，所以 x＝，∴P ...
