第 3 讲 二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N+)．(2)通项：第 k＋1 项为 Tk＋1＝C a n － k b k ．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母 a 的指数按降幂排列由 n 到 0.(2)字母 b 的指数按升幂排列由 0 到 n.(3)每一项字母 a 的指数与字母 b 的指数的和等于 n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项．(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1＝Can－kbk中，C 是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、教材衍化1． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当 k＝2 时，x2的系数为 C·22＝40.答案：402．若展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当 6－2k＝0，即当 k＝3 时为常数项，T4＝C＝20.答案：203．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4的值为________．解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得 a0＋a2＋a4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n的展开式中的第 r 项是 Can－rbr.( )(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( )(4)通项 Tr＋1＝Can－rbr中的 a 和 b 不能互换．( )(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得 2n＝32，所以 n＝5.令 x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.答案：－12．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋...
