第 4 讲 导数与函数的综合应用基础知识整合1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为□优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：3．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．1．(2019·四川南充一诊)若函数 f(x)＝x3＋x2－ax－4 在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为( )A．(1,5)B．[1,5)C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞)答案 A解析 由题意知 f′(x)＝3x2＋2x－a＝0 在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧 f′(x)异号)⇔f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)2x＋4，得 f(x)－2x－4>0
设 F(x)＝f(x)－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2
因为 f′(x)>2，所以 F′(x)>0 在 R 上恒成立，所以 F(x)在 R 上单调递增，而 F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式 f(x)－2x－4>0 等价于 F(x)>F(－1)，所以 x>－1
故选 B．3．若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)答案 A解析 f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，∴x＝±1
三次方程 f(x)＝0 有 3 个根⇔f(x)极大值>0 且 f(x)极
