第 2 课时 导数与函数的极值、最值 利用导数解决函数的极值问题(多维探究)角度一 根据图象判断函数的极值 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)【解析】 由题图可知，当 x<－2 时，1－x>3，此时 f′(x)>0；当－22 时，1－x<－1，此时 f′(x)>0，由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．【答案】 D知图判断函数的极值的情况；先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点． 角度二 求函数的极值 (2020·湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)当 a＝0 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)令 g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数 g(x)的极值．【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x，则 f(1)＝1，所以切点为(1，1)，又 f′(x)＝＋1，所以切线斜率 k＝f′(1)＝2，故切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1，则 g′(x)＝－ax＋(1－a)＝，当 a≤0 时，因为 x＞0，所以 g′(x)＞0.所以 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数 g(x)无极值点．当 a＞0 时，g′(x)＝＝－，令 g′(x)＝0 得 x＝.所以当 x∈时，g′(x)＞0；当 x∈时，g′(x)＜0.因为 g(x)在上是增函数，在上是减函数．所以 x＝时，g(x)有极大值 g＝ln－×＋(1－a)·＋1＝－ln a.综上，当 a≤0 时，函数 g(x)无极值；当 a＞0 时，函数 g(x)有极大值－ln a，无极小值．利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三 已知函数的极值求参数 设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围．【解】 (1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1.此时 f(1)＝3e≠0.所以 a 的值为 1.(2)由(...
