第 5 课时 利用导数探究函数的零点问题 研究函数零点个数(师生共研) (2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为 f(x)的导数，证明：(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有 2 个零点．【证明】 (1)设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.当 x∈时，g′(x)是减少的，而 g′(0)＞0，g′＜0，可得 g′(x)在有唯一零点，设为 α.则当 x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当 x∈时，g′(x)＜0.所以 g(x)在(－1，α)是增加的，在是减少的，故 g(x)在存在唯一极大值点，即 f′(x)在存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．(ⅰ)当 x∈(－1，0]时，由(1)知，f′(x)在(－1，0)是增加的，而 f′(0)＝0，所以当 x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(－1，0)是减少的．又 f(0)＝0，从而 x＝0 是 f(x)在(－1，0]的唯一零点．(ⅱ)当 x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)是增加的，在是减少的，而 f′(0)＝0，f′＜0，所以存在 β∈，使得 f′(β)＝0，且当 x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当 x∈时，f′(x)＜0.故 f(x)在(0，β)是增加的，在是减少的．又 f(0)＝0，f＝1－ln＞0，所以当 x∈时，f(x)＞0.从而 f(x)在没有零点．(ⅲ)当 x∈时，f′(x)＜0，所以 f(x)在是减少的．而 f＞0，f(π)＜0，所以 f(x)在有唯一零点． (ⅳ)当 x∈时，ln(x＋1)＞1，所以 f(x)＜0，从而 f(x)在(π，＋∞)没有零点．综上，f(x)有且仅有 2 个零点．判断函数零点个数的 3 种方法直接法令 f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 设函数 f(x)＝ln x＋，m∈R.(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－零点的个数．解：(1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，则 f′(x)＝，由 f′(x)＝0，得 x＝e.所以当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上是减少的，当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上是增加的，所以当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋＝2，所以 f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令 g(x)＝0，得 m＝－x3＋x(x>0)．设 φ(x)＝－x3＋x(x>0)，则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当 x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上是增加的...
