第三章 空间向量与立体几何一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若 A，B，C，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )①AB＋2BC＋2CD＋DC；②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC；③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD＋AD.A．①② B．②③C．②④D．①④解析： ①中，原式＝AB＋2BD＋DC＝AB＋BD＋BD＋DC＝AD＋BC，不符合题意；②中，原式＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋(AC＋CD＋DA)＝0；③中，原式＝CD，不符合题意；④中，原式＝(AB－AD)＋(CD－CB)＝0.故选 C.答案： C2．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2的方向向量，若 l1∥l2，则( )A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析： l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.答案： D3．在下列四个命题中，真命题为( )A．已知三向量 a，b，c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一地写成 p＝xa＋yb＋zcB．若 a，b，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量 p 总可以写成 p＝xa＋yb＋zcC．若 a，b，c 不共面，则空间任意一个向量 p 总可以唯一地写成 p＝xa＋yb＋zcD．若 a，b，c 三向量两两不共线，则 xa＋yb＋zc＝0 的充要条件是 x＝y＝z＝0解析： 对于空间作为基底的三向量 a，b，c 必须要有限制，即不共面，故 C 正确．答案： C4．若两点 A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值等于( )A．19B．－C.D.解析： AB＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB|＝＝＝ .故当 x＝时，|AB|取最小值．答案： C5．已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB与AC的夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析： AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，|AB|＝3，|AC|＝，AB·AC＝3，∴cos〈AB，AC〉＝＝，∴〈AB，AC〉＝60°.答案： C6．已知向量AM＝，AN＝，则平面 AMN 的一个法向量是( )A．(－3，－2,4)B．(3,2，－4)C．(－3，－2，－4)D．(－3,2，－4)解析： 设平面 AMN 的法向量 n＝(x，y，z)，则即令 z＝4，则 n＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项 D 符合．答案： D7．已知空间三点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且 a 分别与AB，AC垂直，则向量 a 为( )A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C．(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析： 设 a＝(x，y，z)，AB＝(－2，－1,3)...
