高等代数习题及答案

高等代数习题及答案 篇一：高等代数试题及答案 中国海洋大学 2025-2025 学年第 2 学期期末考试试卷 共 2 页第 2 页 五证明：设 A 为 n 级矩阵,g 是矩阵 A 的最小多项式,则多项式 f以 A 为根的充要条件是 g|f. 六设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间,A,B 是 V 上的线性变换，且AB?BA.证明:B 的值域与核都是 A 的不变子空间. ?a ??? 七设 2n 阶矩阵 A?? ????b ? ab? ba ?? b???? ?,a?b,求 A 的最小多项式.???a? 八设 f 是数域 P 上线性空间 V 上的线性变换,多项式 p?x?,q?x?互素,且满足 p?f?q?f ??0 ??,S ?ker?q?f 求证：V?w?S,w?ker?p?f?? 中国海洋大学 2025-2025 学年第 2 学期期末考试学院答案 一.推断题 1.×2.×3.×4.√5.√二.解： ?1?A=?1 ?1??1 1111 1111 1??1?1??1? 3 ，｜?E?A|??，所以特征值为 0，4（3 重）. 将特征值代入，求解线性方程组 x?0，得 4 个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得 4 个单位正交向量：?1＝’，?2＝’， ?3＝’，?4＝?A,B?m.验证 A?B,kA?m 即可.?01? ?? 1? ?令 D?? ? ????0En?1? ??? 1??0?，D 为循环阵，??E1? ??1 0?? Dk ??0E? n?k? ?Ek 0?，? 则 D,D2 ,?,Dn?1 ,Dn ?E 在 P 上线性无关. ? ???.0?? 且 A?a1E?a2D???an?1Dn?2?anDn?1，令 f?a1?a2x??anxn?1,有 A?f. ?B?m，必?P 上 n?1 次多项式 g，使 B?g，反之亦真. ?AB?fg?gf?BA 由上可知：E,D,D2,?,Dn?1 是 m 的一组基，且 dimm?n.四.解：A的行列式因子为 D3?3,D2?D1?1. 所以，不变因子为 d3?3,d2?d1?1，初等因子为 3，??2 ? 因而 A 的 jordan 标准形为 j?1 ??? ? ???2?? ?21 五．证：”?”:f?gq ”?”：f?0,g?0 ?f?gq?0 设 f?gq?r,r?0 或?)??).所以 0＝f?gq?r,因而 r?0.因为 g 为最小多项式，所以 r?0.?g|f.六．证：在 B 的核 V0 中任取一向量?，则 ? ? ?A?BA?)?AB?0 所以 A?在 B 下的像是零，即 A??V0．即证明了 V0 是 A 的不变子空间．在 B 的值域 BV 中任取一向量 B?，则 A?B?BV.因此，BV 也是 A的不变子空间． 综上，B 的值域与核都是 A 的不变子空间． ?七．解：?E?A????b? 2 2 n 篇二：高等代数习题及答案 高等代数试卷 一、推断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题 1 分，共 10 分） 1、p ...