2025年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答抛物线

第十讲 抛物线 一般地说来，我们称函数 (、、 为常数，)为的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1．、、 的符号决定抛物线的大体位置； 2．抛物线关于对称，抛物线开口方向、开口大小仅与相关，抛物线在顶点(，)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ① 一般式：； ② 顶点式：； ③ 交点式：，这里、是方程的两个实根．拟定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕获、发明对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕获对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例 1】 二次函数的图象如图所示，则函数值时，相应的取值范围是 ． 思绪点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一 1，一 4)，可求出，值，先求出时，相应的值．【例 2】 已知抛物线(<0)通过点(一 1，0)，且满足．以下结论：①；②；③；④．其中对的的个数有( )A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 思绪点拨 由条件大体拟定抛物线的位置，进而鉴定、、 的符号；由特别点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例 3】 如图，有一块铁皮，拱形边沿呈抛物线状，MN＝4 分米，抛物线顶点处到边 MN的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C 落在边 MN 上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于 8 分米? 思绪点拨 恰当建立直角坐标系，易得出 M、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设 A(，)，建立含的方程，矩形铁皮的周长能否等于 8分米，取决于求出的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观测分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过度析比较可获得简解．【例 4】 二次函数的图象与轴交于 A、两点(点 A 在点 B 左边)，与轴交于 C 点，且∠ACB＝90°． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设计两种方案：作一条与轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的，写出所截得的三...