第四讲 圆锥曲线中得定点定值问题一、直线恒过定点问题 例1、 已知动点在直线上,过点分别作曲线得切线, 切点为、, 求证:直线恒过一定点,并求出该定点得坐标; 解:设,整理得:同理可得: ,又 ,、例 2、已知点就是椭圆上任意一点,直线得方程为, 直线过Ｐ点与直线垂直,点 M(-１,0)关于直线得对称点为 N,直线 PN 恒 过一定点Ｇ,求点Ｇ得坐标、解:直线得方程为,即 设关于直线得对称点得坐标为 则,解得 直线得斜率为 从而直线得方程为: 即 从而直线恒过定点 二、恒为定值问题例３、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,就是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过 P 作关于直线 F1P 对称得两条直线ＰＡ、PB 分别交椭 圆于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线Ａ B 得斜率为定值;解:(１)设椭圆方程为,由题意可得 ,所以椭圆得方程为 则,设 则 点在曲线上,则 从而,得,则点得坐标为。 (2)由(１)知轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数, 设ＰＢ斜率为,则Ｐ B 得直线方程为: 由 得 设则 同理可得,则 所以直线 AB 得斜率为定值、 例 4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值。 解: 将代入中得 , ,所以 、课后作业: １、 在平面直角坐标系中,已知椭圆、如图所示,斜率为且不 过原点得直线交椭圆于,两点,线段得中点为, 射线交椭圆于点,交直线于点、 (Ⅰ)求得最小值; (Ⅱ)若∙,求证:直线过定点; 解:(Ⅰ)由题意:设直线, 由消 y 得:, 设 A、B,A Ｂ得中点 E,则由韦达定理得: =,即,, 所以中点 E 得坐标为, 因为 O、Ｅ、D 三点在同一直线上, 所以,即, 解得, 所以＝,当且仅当时取等号, 即得最小值为２。 (Ⅱ)证明:由题意知:n〉0,因为直线 O Ｄ得方程为, 所以由得交点Ｇ得纵坐标为, 又因为,,且∙,所以, 又由(Ⅰ)知: ,所以解得,所以直线得方程为, 即有, 令得,y=0,与实数 k 无关, 所以直线过定点(—1,0)、 2、 已知点为曲线上得一点, 若,就是否存在垂直轴得直线 被以为直径得圆截得得弦长恒为定值?若存在,求出直线得方程;若不存在, 请说明理由。 解:设得中点为,垂直于轴得直线方程为, 以为直径得圆交于两点,得中点为、 , ﻩ 所以,令,则对任意满足条件得,都有(与无关), 即为定值、
