二项式定理与多项式定理

《高中数学讨论性学习案例》分组问题 二项式定理 多项式定理1.固定分组问题例 1 将 12 本不同得书分给甲、乙、丙、丁 4 位学生,求分别满足下列条件得分配方法各有多少种:(1)4 位学生每人 3 本;(2)甲、乙各得 4 本,丙、丁各得 2 本;(3)甲得 5 本,乙得 4 本,丙得 2 本,丁得 1 本.解 (1)先从 12 本书中选取 3 本分给甲,有种方法;当甲分得 3 本书后,从剩下得 9 本书中选取 3 本分给乙,有种方法;类似可得,丙、丁得分法分别有、种,由乘法原理得所求分法共有==369600 种;(2) 与 (1) 得 解 法 类 似 可 得 所 求 分 配 方 法 种 数 为==207900;(3) 与 (1) 得 解 法 类 似 可 得 所 求 分 配 方 法 种 数 为==83160.在例 1 中就是将不同得书分给不同得学生,并且指定了每人分得得本数,我们称之为固定分组问题.我们将这个问题总结成如下一般定理:定理 1 将 n 个不同得元素分成带有编号从 1,2,…,r 得r 个组:,,使得有 n1个元素,有个元素,…,有个元素,,则不同得分组方法共有种.证明 先从 n 个不同得元素中选取 n1 个分给,这一步有种方法;再从剩下得个元素中选取个分给,这一步有种方法;如此继续下去,最后剩下得个元素分给,有种方法,由乘法原理得这样得固定分组方法共有…=种.证毕.我们将定理 1 得分配问题简称为()固定分组问题.2.不尽相异元素得全排列 多项式定理固定分组数有多种组合学意义,除了表示固定分组得方法数外,它还有以下两种表示意义:(1)不尽相异元素得全排列种数有 r 类元素,其中第 k 类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,不同类元素互不相同,。则这 r 类 n 个不尽相异元素得全排列种数等于固定分组数。.例 2 (06 年高考江苏卷(理))今有 2 个红球、3 个黄球、4个白球,同色球不加区分,将这 9 个球排成一列有 种不同得方法(用数字作答).解 9 个球排成一列要占 9 个位置,从 9 个位置中选取 2 个放红球,有种方法;再从其余 7 个位置中选取 3 个放黄球,有种方法;最后在剩下得 4 个位置上全放白球,有种方法,由乘法原理得所求得排列方法共有==1260 种.评注:对于固定分组数,除了表示固定分组得方法数外,它还表示 r 类共 n 个(不尽相异)元素得全排列数,其中第 k 类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,.(2)多项式定理得系数在得展开式中,项得系数等于固定分组数。例如在得展开式中,项得系数为=,这正就是我们所熟悉得...