第7练抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望]函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x1、x2∈[a，b]，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上递增.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上递减.2.若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断.3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.例1(1)(2014·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A.[－，]B.[－，]C.[－，]D.[－，](2)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.点评(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1(1)(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x-m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.c＜b＜a(2)(2015·北京)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2-x题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)关于x＝a对称.2.若对于任意x都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2015)＋f(2016)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)＝________.点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.则所有正确命题的序号为________.题型三分段函数例3已知函数f(x)＝是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.点评(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3(2014·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________.高考题型精练1.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y＝lnxB.y＝x2＋1C.y＝sinxD.y＝cosx2.(2015·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))等于()A.－1B.C.D.3.(2014·山东)函数f(x)＝的定义域为()A.B.(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)4.(2014·江西)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a等于()A.B.C.1D.25.下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A.f(x)＝－xB.f(x)＝x3C.f(x)＝lnxD.f(x)＝2x6.函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成...
