第 11 讲 导数在研究函数中的应用板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]考点 1 函数的导数与单调性的关系函数 y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内单调递减；(3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．考点 2 函数的极值与导数1．函数的极小值与极小值点若函数 f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，且 f′(a)＝0，而且在 x＝a 附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；2．函数的极大值与极大值点若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，则点 b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．考点 3 函数的最值与导数1．函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[必会结论]1．若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]内一定有最值．2．若函数 f(x)在[a，b]内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x2－ln x 的单调减区间为(－1,1)．( )(2)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0一定是函数 y＝f(x)的极值．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]函数 y＝x2(x－3)的单调递减区间是( )A．(－∞，0) B．(2，＋∞)C．(0,2) D．(－2,2)答案 C解析 y′＝3x2－6x，由 y′＜0，得 0＜x＜2.3．[课本改编]设函数 f(x)＝＋ln x，则( )A．x＝为 f(x)的极大值点B．x＝为 f(x)的极小值点C．x＝2 为 f(x)的极大值点D．x＝2 为 f(x)的极小值点答案 ...
