第 1 讲 等差数列、等比数列 [考情考向·高考导航]1．等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用．2．对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前 n 项和．[真题体验]1．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )A．16 B．8C．4 D．2解析：C [应用等比数列前 n 项和公式解题时，要注意公比是否等于 1，防止出错．设正数的等比数列{an}的公比为 q，则解得∴a3＝a1q2＝4，故选 C.]2．(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q<0”是“对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n<0”的( )A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：C [设数列的首项为 a1，则 a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)，当 q<0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断 a2n－1＋a2n的符号；反之，若 a2n－1＋an<0，即 a1q2n－2(1＋q)<0，即 q<－1<0，故“q<0”是“对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n<0”的必要不充分条件．]3．(2019·全国Ⅰ卷)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5.(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若 a1＞0，求使得 Sn≥an的 n 的取值范围．解：(1)设{an}的公差为 d，由 S9＝－a5得 a1＋4d＝0.由 a3＝4 得 a1＋2d＝4.于是 a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为 an＝10－2n.(2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d，Sn＝.由 a1＞0 知 d＜0，故 Sn≥an等价于 n2－1ln＋10≤0，解得 1≤n≤10，所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．[主干整合]1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)性质：① 若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；1③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列．2．等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝；(3)性质：① 若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．2热点一 等差、等比数列的基本运算[题组突破]1．(2019·宁波三模)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若 a1·a6·a11＝－3，b1＋b6...
