第 21 讲 坐标系与参数方程1.[2018·全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程.[试做] 2.[2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为{x=3cosθ,y=sinθ (θ 为参数),直线 l 的参数方程为{x=a+4t ,y=1-t(t 为参数).(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为❑√17,求 a.[试做] 命题角度 坐标系与参数方程(1)根据 x=ρcos θ,y=ρsin θ 以及 ρ2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程;(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.解答 1 极坐标与简单曲线的极坐标方程1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+❑√3y=5❑√3,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为 ρ=4sin θ.(1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程;(2)射线 OP:θ=π6 与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长. [听课笔记] 【考场点拨】进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.【自我检测】在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:θ=π3 (ρ∈R).(1)求 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C3的极坐标方程为 θ=π6 (ρ∈R),设 C2与 C1的交点为 O,M,C3与 C1的交点为 O,N,求△OMN 的面积. 解答 2 简单曲线的参数方程2 已知直线 l 的参数方程为{x=1+t cosθ,y=t sinθ(t 为参数),曲线 C 的参数方程为{x=❑√3cos α ,y=sinα(α 为参数),且直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点.(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并求当 θ=π4时,|AB|的值;(2)已知点 P(1,0),当直线 l 的倾斜角 θ 变化时,求|PA|·|PB|的取值范围.[听课笔记] 【考场点拨】(1)...
