高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案

学案 43 空间向量及其运算导学目标： 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的共线与垂直证明直线、平面的平行和垂直关系．自主梳理1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(a≠0)，b 与 a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得 p＝xa＋yb，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O 有，OP＝________________或OP＝xOA＋yOB＋zOM，其中 x＋y＋z＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝________________________，把{e1，e2，e3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若 b≠0，则 a∥b⇔________⇔__________，________，______________，a⊥b⇔__________⇔________________________(a，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝________________________________，cos〈a，b〉＝＝______________________________________________________.若 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线 l，l1，l2的方向向量分别为 v，v1，v2，平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下：平行垂直直线与直线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ 为非零实数)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0直线与平面①l∥α⇔v⊥n1⇔v·n1＝0②l∥α⇔v＝xv1＋yv2其中v1，v2为平面 α 内不共线向量，x，y 均为实数l⊥α⇔v∥n1⇔v＝λn1(λ为非零实数)平面与平面α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0自我检测1．若 a＝(2x...