高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第5节 垂直关系学案 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 5 节 垂直关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角.(2)范围：.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α[常用结论与微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.3.线线、线面、面面垂直间的转化诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( )解析 (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则有 l⊥α 或 l 与 α 斜交或 lα 或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个...