高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6节 空间向量及其运算学案 北师大版-北师大版高三全册数学学案

第 6 节 空间向量及其运算最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λ b .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝x a ＋ y b ，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有OP＝OM ＋ x MA ＋ y MB 或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得 a＝λ1e1＋ λ 2e2＋ λ 3e3.空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0 ， π ] ，若〈a，b〉＝，则称 a与 b 互相垂直，记作 a⊥b.② 非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律：① 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝[常用结论与微点提醒]1.在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点.2.在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即 a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋...