第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题得提1
一均匀细杆直径为,假设它在同一截面上得温度就是相同得,杆得表面与周围介质发生热交换,服从于规律 又假设杆得密度为,比热为,热传导系数为,试导出此时温度满足得方程
解:引坐标系:以杆得对称轴为轴,此时杆为温度
记杆得截面面积为
由假设,在任意时刻到内流入截面坐标为到一小段细杆得热量为杆表面与周围介质发生热交换,可瞧作一个“被动”得热源
由假设,在时刻到在截面为到一小段中产生得热量为 又在时刻到在截面为到这一小段内由于温度变化所需得热量为 由热量守恒原理得: 消去,再令,得精确得关系: 或 其中 2
试直接推导扩散过程所满足得微分方程
解:在扩散介质中任取一闭曲面,其包围得区域 为,则从时刻到流入此闭曲面得溶质,由,其中为扩散系数,得 浓度由变到所需之溶质为 两者应该相等,由奥、高公式得: 其中叫做孔积系数=孔隙体积
由于得任意性即得方程: 3、 砼(混凝土)内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐放出,放热速度与它所储藏得水化热成正比
以表示它在单位体积中所储得热量,为初始时刻所储得热量,则,其中为常数
又假设砼得比热为,密度为,热传导系数为,求它在浇后温度满足得方程
解: 可将水化热视为一热源
由假设,放热速度为 它就就是单位时间所产生得热量,因此,由原书 71 页,(1、7)式得 4、 设一均匀得导线处在周围为常数温度得介质中,试证:在常电流作用下导线得温度满足微分方程其中及分别表示导体得电流强度及电阻系数,表示横截面得周长,表示横截面面积,而表示导线对于介质得热交换系数
解:问题可视为有热源得杆得热传导问题
因此由原 71 页(1、7)及(1、8)式知方程取形式为其中为单位体积单位时间所产生得热量
由常电流所产生得为
因为单位长度得电阻为,因此电流作功为 乘上功热当量得单位长度产生得
