第 8 节 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程，即消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离.(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.[常用结论及微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点.( )(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是：直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点.( )(3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是：直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点.( )(4)如果直线 x＝ty＋a 与圆锥曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.( )解析 (2)因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案 (1)√ (2)× (3)×...
