第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题考点一 定点问题【例 1】 (2018·临汾一中月考)已知椭圆 C：＋y2＝1(a>0)，过椭圆 C 的右顶点和上顶点的直线与圆 x2＋y2＝相切
(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1＋k2＝2，证明：直线 AB 过定点
(1)解 直线过点(a，0)和(0，1)，∴直线的方程为 x＋ay－a＝0， 直线与圆 x2＋y2＝相切，∴＝，解得 a2＝2，∴椭圆 C 的方程为＋y2＝1
(2)证明 当直线 AB 的斜率不存在时，设 A(x0，y0)，则 B(x0，－y0)，由 k1＋k2＝2 得＋＝2，解得 x0＝－1
当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去 y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得 x1＋x2＝，x1·x2＝，由 k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由 m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即 y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，故直线 AB 过定点(－1，－1)
综上，直线 AB 过定点(－1，－1)
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关
【训练 1】 (2018·西安模拟)设 F1，F2分别为椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上
