极坐标与参数方程一、基础知识与例题► 考向一 极坐标系与简单曲线得极坐标方程考向:求点得极坐标、曲线得极坐标方程,把直角坐标化为极坐标系、极坐标化为直角坐标.例 1 在极坐标系中,直线 C1得极坐标方程为 ρsin θ＝2,M 就是 C1上任意一点,点 P 在射线OM 上,且满足|OP|·|OM|＝4,记点 P 得轨迹为 C2、(1)求曲线 C2得极坐标方程;(2)求曲线 C2上得点到直线 C3:ρcos＝距离得最大值.解:(1)设 P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有ρ1sin θ＝2,ρρ1＝4、消去 ρ1,得曲线 C2得极坐标方程为 ρ＝2sin θ(ρ≠0).(2)将 C2,C3得极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2＋(y－1)2＝1,C3:x－y＝2、C2就是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径得圆,圆心到直线 C3得距离 d＝,故曲线 C2上得点到直线 C3距离得最大值为 1＋、► 考向二 简单曲线得参数方程考向:求曲线得参数方程,化参数方程为普通方程,参数方程得应用.例 2 已知圆(x－2cos θ)2＋(y＋2cos 2θ－2)2＝1、(1)求圆心得轨迹 C 得方程;(2)若存在过点 P(0,a)得直线交轨迹 C 于 A,B 两点,且|PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,求 a 得取值范围.解:(1)圆(x－2cos θ)2＋(y＋2cos 2θ－2)2＝1 得圆心(x,y)得坐标为(2cos θ,2－2cos 2θ),即消去参数 θ 后可得轨迹 C 得方程为 y＝4－x2(－2≤x≤2).(2)设直线 AB 得方程为(α 为直线 AB 得倾斜角,t 为参数),代入 y＝4－x2,得 t2cos2α＋tsin α＋a－4＝0,显然 cos α≠0,即 α≠,设其两根为 t1,t2、 |PA|,|AB|,|PB|构成等比数列,即|AB|2＝|PA|·|PB|,又 |PA|·|PB|＝|t1t2|＝,|AB|2＝|t1－t2|2＝－4＝,∴＝,即 sin2α＝[4(a－4)＋|a－4|]cos2α,∴tan2α＝4(a－4)＋|a－4|、由 tan2α≥0 得 a≥4,又|PA|·|PB|＝|t1t2|≠0,∴a>4,tan2α＝5(a－4),又设轨迹上得点 M(－2,0),N(2,0),则 tan2α≤k＝,∴a2－20a＋80≥0,又 a>4,∴a≥10＋2 或 4
