3.4 定积分的概念与微积分基本定理考情分析本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。基础知识1、定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，当时，和式无限接近某个常数，这个常数叫做函 数在 区 间上 的 定 积 分 ， 记 做 ：。 记 ：=，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间。2、定积分几何意义：如果函数在区间上连续且恒有 ，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。3、定积分性质：为常数）4、微积分基本定理一 般 地 ， 如 果 函 数是 区 间上 的 连 续 函 数 ， 并 且， 那 么注意事项1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和 体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成就．2. (1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3.由微积分基本定理可知求定 积分的关键是求导 函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．题型一 定积分的计算【例 1】设 f(x)＝则 f(x)dx 等于( )A. B. C. D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋(2x－x2)＝＋(4－2－2＋)＝.【变式 1】若(2x＋)dx＝3＋ln2(a>1)，则 a 的值是( )A. 2 B. 3C. 4 D. 6答案：A解析： (2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2－1＋lna.且(2x＋)dx＝3＋ln2.∴a2－1＋lna＝3＋ln2，∴a＝2，故选 A.题型二 利用定积分求面积【例 2】 如图，已知幂函数 y＝xa 的图象过点 P(2,4)，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D. 答案：B解析：将(2,4)代入 y＝xa，得 a＝2，所以阴影部分的面积 S＝x2dx＝，选 B 项．【变式 2】 求曲线 y＝，y＝2－x，y＝－x 所围成图形的面积．解 由得交点 A(1,1)；由得交点 B(3，－1)．故所求面积 S＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝.题型三 定积分的应用【例 3】已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象如图，直线 y＝0 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求 f(x)．解：由 f(0...
