第 2 讲 函数与方程思想、数形结合思想一 函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 构建“函数关系”解决问题[典型例题] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式 an；(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值．【解】 (1)因为 a1＝2，a＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，所以公差 d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得 d＝2 或 d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式 an＝2n.(2)由(1)知 Sn＝n(n＋1)，则＝＝－.所以 bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝＝，令 f(x)＝2x＋(x≥1)，则 f′(x)＝2－>0 恒成立，所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3，即当 n＝1 时，(bn)max＝，要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立，则须使 k≥(bn)max＝，所以实数 k 的最小值为.数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前 n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地发现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． [对点训练]1．对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p，使不等式 x2＋px>4x＋p－3 成立的 x 的取值范围是________．解析：设 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当 x＝1 时，f(p)＝0.所以 x≠1.f(p)在 0≤p≤4 时恒为正，等价于即解得 x>3 或 x<－1.故 x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．(2018·高考北京卷)若△ABC 的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C 为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．解析：△ABC 的面积 S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，所以 tan B＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C 为钝角，...
