第 2 讲 数列通项与求和[做真题]题型一 an与 Sn关系的应用1．(2018·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 S6＝________．解析：法一：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝－1；当 n＝2 时，a1＋a2＝2a2＋1，解得 a2＝－2；当 n＝3 时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得 a3＝－4；当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得 a4＝－8；当 n＝5 时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得 a5＝－16；当 n＝6 时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得 a6＝－32；所以 S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以 an＝2an－1，所以数列{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＝－2n－1，所以 S6＝＝－63.答案：－632．(2015·高考全国卷Ⅱ)设 Sn是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________．解析：因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为 Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以{}是首项为－1，公差为－1 的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以 Sn＝－.答案：－题型二 数列求和1．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则＝__________．解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意，即解得所以 Sn＝，因此＝2＝.答案：2．(2018·高考全国卷Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15.由 a1＝－7 得 d＝2.所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.(2)由(1)得 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当 n＝4 时，Sn取得最小值，最小值为－16.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前 n 项和，且 a1＝1，S7＝28.记 bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求 b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前 1 000 项和．解：(1)设{an}的公差为 d，据已知有 7＋21d＝28，解得 d＝1.所以{an}的通项公式为 an＝n.b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.(2)因为 bn＝所以数列{bn}的前 1 000 项和为 1×90＋2×900＋3×1＝1 893.[...
