第 3 讲 导数的简单应用 [做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：选 C.依题意得 y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0，故选 C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1解析：选 D.因为 y′＝aex＋ln x＋1，所以 k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1，与切线方程 y＝2x＋b 对照，可得解得故选 D.3．(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论 f(x)的单调性．解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝.若 a>0，则当 x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．若 a＝0，则 f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若 a<0，则当 x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故 f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般． 导数的运算及其几何意义(基础型) [知识整合] 导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(ax)′＝axln a(a＞0)；(4)(logax)′＝(a＞0，且 a≠1)． 导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k＝f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[考法全练]1．已知函数 f(x)＝(e 是自然对数的底数)，则其导函数 f′(x)＝( )A. B.C．1＋x D．1－x解析：选 B.函数 f(x)＝，则其导函数 f′(x)＝＝，故选 B.2．(2019·福州市第一学期抽测)曲线 f(x)＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A．2 B.C. D.解析：选 D.f′(x)＝1＋，则 f′(1)＝2，故曲线 f(x)＝x＋ln x ...
